Jones多項式

Jones多項式$V(t)$とは $\sqrt{t}$のLaurent多項式 のうち次の条件を満たすもののことである.

• 有向絡み目$K$ が$K{`}$と全同位ならば, $V_K(t) = V_{K^{`}}(t)$
• $K$が平凡な結び目ならば,$V(K)=1$
• $t^{-1}V_ 図形 - tV 図形 = ( \sqrt{t} - \frac{1}{\sqrt{t}} ) V_ 図形

正規化Bracket多項式 $L_{K}(A)$ に対して $A = t^{-1/4}$を代入して得られる

L_K(t^{-1/4}) = (-t ^{-3/4})^{-w(K)}< K >(t^{-1/4})$

は上の条件を満たすことが判る.

実際

• $V_{K}(t)=L_{K}(t^{-1/4})=L_{K'}(t^{-1/4})=V_{K'}(t)$
• $K = $ 図形 とする. $w(K)=0$, 図形 $=1$なので L_{K}(t^{-1/4}) &=& (-t^{-3/4})^{0$< K >$} &=& 1 となる.

• $B=A^{-1}$であることに注意すると, Bracket多項式について次の公式が得られる. 図形
  &=& A 図形 +B 図形,
  図形
  &=& B 図形 +A 図形

  従って,
  $B^{-1} 図形 -A^{-1} 図形
  = (\frac{A}{B}-\frac{B}{A}) 図形

  よって
  $A 図形 -A^{-1} 図形
  = (A^{2}-A^{-2}) 図形

  ここで$w=w( 図形 )$ とおくと

  w( 図形 )
  &=& w+1 w( 図形 )
  &=& w-1
  となる.

  $\alpha=-A^{3}$とすると
  $A 図形 \alpha^{-w}-A^{-1} 図形 \alpha^{-w}
  = (A^{2}-A^{-2}) 図形 \alpha^{-w}$

  従って,
  A\alpha 図形 \alpha^{-(w+1)}-A^{-1}\alpha^{-1} 図形 \alpha^{-(w-1)}
  &=& (A^2-A^{-2}) 図形 \alpha^{-w}
  

  A\alpha L_ {図形} -A^{-1}\alpha^{-1}L_ {図形}
  &=& (A^2-A^{-2})L_ {図形} -A^{4}L_ {図形} +tL_ {図形}
  &=& (A^2-A^{-2})L_ {図形}

  ここで$A=t^{-1/4}$とおくと,次の等式が導かれる.
  $t^{-1}L_ {図形} -tL_ {図形}
  = (\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}})L_ {図形}

つまり Jones多項式 は実際に存在して上のようにして正規化bracket多項式から得られる. さらにこれ以外にないことも判る.

例えば4.2の$P$のJones多項式は以下のとおり計算できる. 5.3より$P$の正規化Bracket多項式は
$L_P(A)=A^{-4}+A^{-12}-A^{-16}$
となり,$A = t^{-1/4}$を代入すると

$L_{P}(t^{-1/4})$ $=t+t^{3}-t^{4}$

となる.