絡み目の各成分に向きが1つ指定された図形を 有向絡み目 とよぶ.
2つの有向絡み目$TとT'$が $\bigtriangleup$移動の繰り返しで向きを保ったまま移りあう時, 同型 であるという.
有向絡み目$K$と$K$の交差点$p$に対して,$p$の符号 $\epsilon=\epsilon(p)$を 以下のように定める.
上交差線を下交差線と重なるまで 反時計回りに回し辺が重なった時,向きが一致すれば その交差点の符号を $\epsilon=1$ ,一致しなかったら $\epsilon=-1$ とする.
$K$の各交差点の符号を全て合計したものを 捻り数 とよび $w(K)$と書く. つまり
\[ w(K) = \sum_{p} \varepsilon(p) \]
と定義する.
まず$w(K)$が正則同位の不変量かどうかを調べる. Reidemeister移動IIに関する不変性を調べる.
図形 を含む有向絡み目$K$と,その部分にReidemeister移動IIをほどこした 有向絡み目$K'$に対して
\begin{eqnarray*}
w(K)
&=&
w(
図形
+w(K') \\
&=&
(1-1)+w(K') \\
&=&
w(K')
\end{eqnarray*}
図形 に他の向きを与えた場合も
$( 図形 の捻り数)=0,
( 図形 の捻り数)=0,
( 図形 の捻り数)=0$
なので,上と同じようにして Reidemeister移動IIによって 捻り数は不変であることが判る.
次にReidemeister移動IIIに関する不変性を調べる. 図形 を含む有向絡み目$K$と, その部分にReidemeister移動IIIをほどこした 有向絡み目$K'$に対して
\begin{eqnarray*}
w(K)
&=&
w(
図形
+w(Kから
図形
を除いた残りの図形\beta) \\
&=&
(1+1-1) + w(\beta) \\
&=&
1 + w(\beta)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
w(K')
&=&
w(
図形
+ w(K'から
図形
を除いた残りの図形 \gamma) \\
&=&
(1+1-1) + w(\gamma) \\
&=&
1 + w(\gamma)
\end{eqnarray*}
明らかに$w(\beta)=w(\gamma)$なので$w(K)=w(K')$となる.
図形 に他の向きを与えた場合も
(図形
の捻り数)= (-1-1-1)
= -3
(図形
の捻り数) = (-1-1-1)
= -3
(図形
の捻り数) = (1-1+1)
= -1
(図形
の捻り数) = (1-1+1)
= -1
(図形
の捻り数) = (-1+1+1)
= 1
(図形
の捻り数)
= (-1+1+1)
= 1
(図形
の捻り数) = (-1+1+1)
= 1
(図形
の捻り数) = (1+1-1)
= 1
(図形
の捻り数) = (1-1+1)
= 1
(図形
の捻り数) = (1-1+1)
= 1
なので 上と同じようにして ReidemeisterIIIによって捻り数は不変である. よって捻り数は正則同位に関して不変である.
